Bachelor projekt (F00): Elliptiske kurver

Første møde: 26. jan. 2000 kl. 10.15-12 paa mit kontor A.3.21

Vi mødes hver onsdag 9.15 -11 paa mit kontor med mindre andet aftales.

Projektet forventes afsluttet den 29. juni 2000.

Focus paa forudsætninger, specielt endelige legemer.

Introduktion til P^2.

Oplæg til gruppestuktur paa Elliptisk kurve.

Delprojekt 0: Vis. at der findes et og kun et legeme (op til isomorfi) med p^n elementer (p primtal). (Se for eksempel noterne til Algebra1)

Kap. 1 i Silverman og Tate drøftes.

Fortsat gennemgang af P^2.

Gruppestruktur indledende behandling.

Introduktion til TEX.

Gruppestrukturen

associativitet

rational, dvs. defineret over et vilkaarligt legeme

eksplicit udtryk

fordoblingsformel

MAPLE. Kurven med ligningen y^2=x^3-x+1/4 indeholder punktet P(0,1/2). Bestem 2P,4P,8P,16P. Formuler en formodning.

1. Delprojekt: Skriftlig redegørelse (TEX) for gruppestrukturen paa en elliptisk kurve over et vilkaarligt legeme. (1. kapitel af bachelorafhandlingen ). Projektperioden slutter 25. marts.

Elliptiske kurver over endelige legemer

Gauss sætning, jvf. Silverman og Tate: Rational Points on Elliptic Curves,

Hasse's sætning,

A. Knapp: Elliptic Curves

J. S. Chahal: Manin's Proof of the Hasse Inequality Revisited, Nieuw Archief voor Wiskunde, 1995, 219-232

2. Delprojekt: Skriftlig redegørelse (TEX) for elliptiske kurver over endelige legemer, specielt for Hasse's sætning (2. kapitel af bachelorafhandlingen ). Projektperioden slutter 12. maj.

I delprojektet kan evt. indgaa en behandling af foelgende:

Bestem en elliptisk kurve E over legemet F_2 med 2 elementer, der har netop 3 F_2 rationale punkter.

Bestem antallet af F_i rationale punkter paa E for i=1,2,3,4 og sammenhold resultaterne med Hasse's sætning.

Opstil en formodning om antallet af F_i rationale punkter paa E for alle i.

3. Delprojekt: Skriftlig redegørelse (TEX) for anvendelsen af elliptiske kurver i Lenstra's faktoriseringsalgoritme (3. kapitel af bachelorafhandlingen ). Projektperioden slutter 5. juni.

Litteratur

Silverman og Tate: Rational Points on Elliptic Curves, Springer Verlag

A. Knapp: Elliptic Curves, Princeton University Press

MathSciNet er en god hjælper til at finde litteratur.

Katalog Matematisk litteratur i Instituttets bibliotek

Andre oplysninger

SUMMER SCHOOL: ELLIPTIC CURVES, FINITE FIELDS AND CRYPTOGRAPHY

Om elliptiske kurver I

Om elliptiske kurver II

aPecs 5.11 MAPLE program til regning paa elliptiske kurver. Forfatter Ian Connel

Deltagere

Morten Christensen