(fra Scharein)
 
 

Knudeteori og partikelfysik - en videnskabelig "love story" fra vor tid.


Anders Kock


I den sidste snes år er der fremkommet en strøm af ny matematik  i stærk vekselvirkning med avanceret teoretisk fysik (kvantefelt-teori, partikelfysik). Denne nye matematik hænger samtidig intimt sammen med meget intuitive og meget gamle problemstillinger: knuder og lænker (fletninger, hækletøj, ...).

Knuder fascinerer og irriterer alle mennesker; man taler om at rede trådene ud; eller at løse den gordiske knude. Hvis læseren har en elektrisk hæksaks med en lang ledning, der er gået i kludder, vil han kende sagen fra den irriterende side. Måske har den også et juridisk aspekt: var cyklen forsvarligt låst eller ej:


Fig 1



Kræver forsikrings-selskabet ikke, at låsen skal være anbragt sådan: 

Fig 2


Eller hvad med den her, her er cyklen endda låst fast (eller er den ?) til en fast genstand: 

Fig 3

Det er, efter passende deformation, en version af et gammelt heraldisk symbol, de Borromeanske ringe (billede (spejlvendt) fra Scharein ): 

Fig

Der er opfundet mange matematiske teorier og begreber, der giver delvise svar på sådanne problemer. En af de ældste begreber, som er relevant for den låste cykel, er  lænketallet , der tæller op, hvormange gange et lukket kurve (f.eks. et låst kabel) slynger sig om en anden. Et meget nyere begreb er Jones polynomiet (og dets nære slægtninge, Conway- og HOMFLY polynomierne). De kan anvendes på vilkårlige "lænker" - (Begyndelses"vignetten" er et eksempel på en lænke med fire"komponenter"). Jones polynomiet står centralt i de sidste tyve års knudeteori, og i dens sammenhæng med teoretisk fysik. Denne sammenhæng er også et aktuelt forskingsområde ved Århus Universitet, og en af vore medarbejdere har inden for de sidste måneder gjort en banebrydende opdagelse om dette -- mere derom sidst i artiklen.

Lænketallet

 Lænketallet (vindings-tallet, "linking number") er et helt tal, der er knyttet til to lukkede kurver i det tre-dimensionale rum. Hvis de to kurver kan skilles helt fra hinanden uden at klippe den ene af dem over, er lænketallet 0. Hvordan kan lænketallet beskrives matematisk ? Lad os sige at den ene kurve er rød og den anden blå. Læg de to sammenfiltrede kurver så fladt som muligt på et bord. 

Fig 4

Her er lænketallet 2, fordi den røde har 2 vindinger rundt om den blå. Ved at bøje snorene kan vi få noget, der ser helt anderledes ud, f.eks. at den blå snor sig to gange rundt om den røde; men tallet forbliver det samme, lænketallet er en invariant, dvs. det ændres ikke ved deformationer (bøjninger). Hvordan kan vi præcisere lænketallet matematisk? Lad os f.eks. tage udgangspunkt i det viste diagram. Nogen steder vil de to kurver krydse hinanden (medmindre de allerede er helt skilt ad; i så fald sættes lænketallet til 0). Lænketallet beregnes ved at studere de kryds, hvor rød og blå krydser (Den røde kurve krydser måske også sig selv nogen steder, disse kryds indgår ikke i den videre undersøgelse; heller ikke de kryds hvor den blå evt. krydser sig selv.)

Nu laver vi en hjælpe-konstruktion: vi forsyner begge kurver med en gennemløbsretning(orientering). Gennemløbsretningen indgår i beregningen, men kun på den måde, at modsatte valg af den ene eller begge orienteringer kun har indflydelse på fortegnet af det beregnede lænketal, altså om vi f.eks. får +2 eller -2. Når først der er valgt gennemløbsretning for hver af de to kurver, kan vi for hvert kryds mellem rød og blå spørge, om det følger Ørsteds (Holtens! ) tommelfinger-regel eller ej. Ørsteds tommelfingerregel lyder: læg højre hånd på den øverste kurve i krydset, sådan at fingerene peger i ``strømmens'' retning, altså i retning af den valgte orientering på den øverste kurve. Hvis orienteringen af den nederste kurve så er i retning af tommelfingeren, er krydset et ``Ørsted kryds'', i modsat fald kan vi kalde det et ``anti-Ørsted kryds''. (Klik her , hvis du vil mindes om Ørsteds opdagelse (1820) af den elektriske strøms indvirkning på en kompasnål, og hans tommelfinger-regel for hvilken retning kompasnålens slår ud til ! )

Afgørelsen af, hvilke kryds, der er Ørsted kryds, afhænger ikke af farverne. Hvis det er sådan, at alle de steder, hvor blå og rød krydser hinanden, ligger den blå kurve øverst, så kan kurverne helt skilles ad: vi løfter bare den blå opad og af.

Men hvis rød ligger øverst nogen steder? Disse steder tæller vi bare op, på den måde, at vi skriver et +1, hvis krydset er et Ørsted kryds, og et -1, hvis det er et anti-Ørsted kryds; summen er så lænketallet. Betragt f.eks.


Fig 5

 Ved det kryds, der er nederst på Figur 5, ligger rød øverst, og krydset er et Ørsted kryds; altså skriver vi +1. Der er ikke andre kryds, hvor rød ligger over blå; så lænketallet er +1. Betragt derimod 

Fig 6

Her er der et Ørsted-kryds, og et anti-Ørsted kryds, og begge steder ligger rød øverst, og begge kryds bidrager altså til lænketals-summen; det ene kryds birager med +1, det andet med -1. Summen, og altså lænketallet, er 0. Det kunne vi også have set med det blotte øje: den røde og den blå kan jo skilles ad.

Lad os endelig udregne lænketallet for cyklen, der er låst som i figur 1 . Vi simplificerer, og lægger (vilkårligt) orientering på hver af de to lukkede kurver.


Fig 7

Der er fire kryds hvor rød og blå krydser hinanden: to, der er Ørsted, og to, der er anti-Ørsted. Af de to kryds, hvor rød ligger øverst, er det ene Ørsted, og det andet er anti-Ørsted. Bidragene hæver altså igen hinanden. Lænketallet er 0 !

Hvis forsikrings-selskaber vil henholde sig til dette faktum, og hævde, ``cyklen var altså ikke låst !'', -- så har de overvurderet lænketallets betydning: Lænketal 0 er en nødvendig betingelse, men det er ikke en tilstrækkelig betingelse, for at de to kurver kan skilles ad.

Jones-polynomiet, og dets slægtninge, HOMFLY- og Conway- polynomierne, som vi skal regne på nu, er lidt mere komplicerede, men til gengæld er de stærkere ``invarianter''. De kan bl.a afsløre, at cyklen på Figur 1 faktisk er låst (altså at de to komponenter i Fig. 7 ikke kan tages fra hinanden). Ordet ``invariant'' betyder i denne sammenhæng, at det er størrelser (tal, eller polynomier), der ikke ændrer sig for en given knude eller lænke, selvom man lægger snoreværket op på bordet på en anden måde, eller bøjer og krøller snorene, -- så længe man ikke klipper dem over.

Conway, Jones og HOMFLY

Pointen med et lænke tal er, at tal kan man regne på, og umiddelbart konstatere om to tal er lig hinanden eller ej. Polynomier, med heltallige koefficienter, kan man også regne på, og skelne fra hinanden, f.eks. er polynomiet z3 ikke det samme som polynomiet 0 (selvom der findes enkelte værdier af z der giver z3=0). Ved et knude-polynomium forstås en hel familie af polynomier f(z), ét for hver (orienteret) knude eller lænke; det skal være invariant, d.v.s. hvis man "fysisk" deformerer en knude/lænke over i en anden, skal polynomiet for knuden/lænken forblive uændret. Man vil ofte regne polynomiet ud, ud fra en plan projektion, dvs. ud fra en bestemt måde at lægge knuden på et bord. Hvis polynomiet er invariant, afhænger polynomiet ikke af, hvordan knuden bliver arrangeret på bordet.

Det første knude-polynomium blev opdaget i 1928 af amerikaneren J. Alexander, og genopdaget 1969 af englænderen J. Conway ud fra en ny synsvinkel, "skein-relatione r". I 1984 opdager New Zealænderen V. Jones et nært beslægtet polynomium (stadig: en familie af polynomier, ét for hver knude eller lænke), der samtidig har en fysisk betydning, og med Jones' opdagelse går det stærkt: fysikere og matematikere kaster sig over emnet med udgangspunkt i Jones' arbejde. En variation af Jones polynomiet blev opdaget af otte forskellige forskere samtidig, få måneder efter Jones' arbejde, denne variation kaldes HOMFLY polynomiet (et akronym dannet ud af nogen af opdagernes forbogstaver). Lige som Conway og Jones polynomierne kan HOMFLY udregnes ved hjælp af skein relationer; HOMFLY er et polynomium i to variable, hvor Jones. og Conway er polynomier i én variabel. Udregningerne forløber iøvrigt ens, kun den algebraiske side af skein-relationerne er forskellig. (Skein-relationerne for Jones' og HOMFLY kan ses her .)  Da Conway er det simpleste ud fra et algebraisk synspunkt, vil vi nøjes med at kigge på dette.

F.eks. er Conway polynomiet for ``Whitehead-lænken'' i fig. 7 lig med (plus/minus) z3, mens det for den almindelige kløverbladsknude


Fig 8

 er 1+z2. For en lukket kurve uden knuder (en "u-knude") 

Fig 9

er polynomiet 1 (eller 1 + 0z, hvis man gerne vil have et z stående, til at minde om, at det er et polynomium). 

Regneteknik: skein-relationer

Det er let at regne Conway- Jones- og HOMFLY polynomier ud; udregning kan for alle tre udføres ved hjælp af såkaldte "skein"-relationer. "Skein" betyder "et fed garn", altså strikkegarn, inden det bliver vundet til kugleformede "nøgler". Ordet er velvalgt, fordi det minder om knudeteoriens bedstemor, kunsten at strikke.

Tre (orienterede) knuder eller lænker, lagt på et bord, K +, K- og K0 siges at være i skein-relation, hvis de er ens pånær i et enkelt kryds, hvor K+ og K- krydser forskelligt (K+ i et Ørsted-kryds,  K- i et anti-Ørsted kryds), og hvor  K0 slet ikke krydser. Mere præcis, idet vi fokuserer på det kryds, hvor er er forskel:


Fig 10

Orienteringen er nødvendig, for at vi kan vide hvilket kryds, der er Ørsted; men det er også nødvendigt for at kunne vælge K0  , der jo ellers lige så godt kunne have været 
Fig 11
  J. Conway gjorde i 1969 opmærksom på, at der findes et knudepolynomium N (det kaldes normalt "nabla"; "nabla"  skrives som en trekant med spidsen nedad)  så at 

.

N(K+ ) - N ( K- ) = z N( K0 ),

(her betegner z polynomiets variabel-symbol). Polynomiet er entydigt bestemt ved denne relation, og "begyndelsesbetingelsen" 

.

N(0) =1


(hvor 0 betegner en lukket kurve uden knuder (en "u-knude "). Polynomiet kan vises at være en "invariant", dvs. knuder eller lænker, der rent fysisk kan deformeres over i hinanden, har samme polynomium. Udfra dette er det let at vise at 
.

N(S) =0

 hvis S er en lænke med mere end to komponenter, hvor en af komponenterne helt kan frigøres de andre (en såkaldt "split" lænke); og man kan også let, ved induktion, vise 
.

N( Ln) = ± zn-1 

hvor Ln betegner en almindelig kæde med n led "i serie", f.eks. er L4

Fig 12

(fortegnet afhænger af, hvordan de enkelte led i kæden orienteres).

Som eksempel (flere eksempler her ) på sådanne regninger med Conway polynomiet N skal vi nu udregne N(W) , hvor W er lænken vist i  figur 1 eller figur 7 ; vi viser

  N(W) = ± z3 ; 
da polynomiet z3 ikke er det sammme som 0 -polynomiet, følger det, at W ikke er split. altså de to komponenter i W kan ikke skilles ad. (-- Det kan man så hilse og sige til Forsikrings-selskabet, hvis de betvivler, at cyklen i figur 1 var forsvarligt låst !)

Vi har en skein-relation mellem følgende tre lænker; forskellen mellem de tre lænker er koncentreret i krydset yderst til højre


Fig 13a
K-

Fig 13b
K +

Fig 13c
K0

 Her er K - = W (fig. 13a ), K+ (fig 13b ) er split (det er ikke helt oplagt fra figuren -- det kræver lidt deformation); endelig er K0 (fig 13c ) en kæde med tre led L3 , det ses igen ved lidt deformation. Indsættes "begyndelsesbetigelserne" for split lænker og 3-lænker , får vi 
0 - N(W)  = z . (± z2 ) 
 hvoraf N(W) = ±z3  .

Forhåbentlig kan læseren bruge Conway's opskrift (skein ligningen her) for Conway polynomiet) til at teste forskellighed af nogle knuder eller lænker med !  -Mange konkrete regninger af denne art  findes på Scharein' s  billedskønne hjemmeside fra Canada, se specielt  her .  --Jones og HOMFLY  polynomierne er også givet ved en skein-relationer, men de er lidt mere komplicerede. Skein-relationerne for dem kan ses  her . Skein-relationer kan også bruges til at definere lænketallet med, se samme sted.
 
 
 

Fysisk betydning


Vi vender først tilbage til lænketallet. Er der en forklaring på, at lænketallet er en invariant, f.eks. derved, at det har en fysisk betydning, der er uafhængig af, hvordan vi lægger snoreværket ned på bordet ? Her er vi tilbage til  oprindelsen af lænketal. Og det begynder faktisk samtidig med den moderne fysik, teorien for elektromagnetisme, som begyndte med Ørsted i 1820. Straks kom der en livlig aktivitet blandt fysikere og matematikere for at undersøge denne mærkelige sammenhæng mellem naturkræfterne elektricitet og magnetisme, f.eks. at give en kvantitativ beskrivelse. Mærkeligt var det også, at den magnetiske virkning af en strøm var på tværs af strømmen, eller, som man lærte at sige ved denne lejlighed, de magnetiske felt-linier er vindskæve til den strømførende leder. Elektromagnetiske felter var en nyopdaget materiel realitet, men en beskrivelse af dem ved hjælp af partikler kunne ikke gennemføres. Sådan en beskrvelse er hvad kvant-felt-teori i vore dage forsøger at give.

Blandt foregangsmændene i udforskningen af elektromagnetismen var den store matematiker Gauss. Han skattes højt i hele verden; i sit hjemland Tyskland skattes han så højt, at hans portræt var at finde på 10-mark sedlerne, (så længe disse endnu fandtes). Det er også hans navn, der bruges som enhed for magnetisk feltstyrke.

En elektrisk strøm (jævnstrøm), der er viklet om en jernring, inducerer et magnetfelt i jernringen. Hvor stærkt et felt? Det afhænger af strømstyrken, men også af lænketallet mellem den strømførende ledning og jernringen; det var Gauss' indsigt, og det var til det formål at han opfandt og beskrev lænketal eksakt. Beskrivelsen, vi gav ovenfor, med røde og blå snore lagt ned på et bord, er en regnemetode men er ikke en forklaring . Gauss' beskrivelse af lænketal indeholder samtidig en forklaring, som er udsprunget af de elektromagnetiske grundforhold: magnetfelt og leder er vindskæve i forhold til hinanden.

Kan man sætte tal på ``vindskævhed"? Tager man to små liniestykker dx og dx' i rummet, kan man spørge om rumfanget  vol(dx ,dx' ) af det tetraeder, der har liniestykkernes fire endepunkter som hjørner. Hvis de to små liniestykker er parallele, eller bare ligger i samme plan, er rumfanget selvfølgelig 0. Altså, kun hvis liniestykkerne er vindskæve, får man et bidrag. Kan man tage dette rumfang som et kvantitativ mål for, hvor vindskæve liniestykkerne er ? Ikke helt, for afstanden a mellem liniestykkerne har selvfølgelig en indflydelse: stor afstand, stort rumfang. Gauss' idé var nu, at hvis man dividerer med a3 , som jo også udtrykker et rumfang, så har man et ubenævnt udtryk (et rent tal)


vol( dx ; dx' )/ a3 
som er et rent udtryk for vindskævheden, eller et udtryk for bidraget som ``strømelementet" dx yder til det magnetiske felt langs dx' . Hvis man nu har to lukkede kurver C og D, og opdeler den ene i små liniestykker dx og den anden i små liniestykker dx' og tager den samlede sum (dobbeltintegral  over C, D) af udtrykket for vindskævhed , så har man et kvantitativt udtryk for den første kurves lænketal (omløbstal) om den anden, eller for den magnetiske induktion af den første (C, strømkredsen) i den anden (D, jernringen). Det krævede en mand af Gauss' kaliber at skabe det matematiske værktøj (vektor-analyse), der kræves for at indse, at integralet  altid er et helt tal (på nær en faktor 2/3 pi eller 4 pi); hvoraf det følger, at det ikke ændrer sig ved kontinuerlige deformationer af de to kurver, og altså er en invariant ! Og det er netop lænketallet ("Anzahl der Umschlingungen", antal omslyngninger, i Gauss' sprogbrug). 

Witten's integral

Lænketal er ikke et ret fintmærkende instrument - det kunne f.eks. ikke påvise, at cyklen i Fig. 1 faktisk var låst; og det kan kun sige noget om lænker med to komponenter, altså har intet at sige om f.eks. lænker med tre komponenter, som f.eks. ``den Borromeanske lænke ''  eller lænker med én komponent, altså om knuder. Til gengæld har lænketal, som nævnt, en fysisk betydning, i teorien for elektromagnetisme.

Det var et gennembrud, da amerikaneren E. Witten i 1989 kunne påvise, at de mere dybtborende invarianter, som Jones polynomiet, har en analog fysisk betydning. Det var startskud til de sidste tyve års intense udveksling af ideer mellem knudetoriens rene matematik, og moderne teoretisk fysik. Denne sammenhæng er ikke så let at forklare som sammenhængen mellem lænketal og elektromagnetisme, for den vedrører de nyopdagede kræfter, der er på spil inden i atomer, den ``stærke'' og den ``svage'' kraft, som har deres egne love; love, der er anderledes og mere komplicerede end elektrodynamikkens Maxwell ligninger. De er udforskede af partikel-fysikere de sidste halvtreds år, og er derfor rimelig godt forstået af fagfolk. Men disse ``nye'' kræfter er ``mikro-kræfter''; man ikke kan anstille eksperimenter med dem hjemme ved køkkenbordet, som man kan med en elektrisk strøm og en magnetnål (elektromagnetisme), eller med et æble hjemme under æbletræet (tyngdekraft).

I meget grove træk: bevæger ``man'' sig rundt langs en lukket kurve i et kraftfelt af en af disse mikrokræfter, sker der en faseforskydning af potentialfunktionen; denne faseforskydning afhænger både af kurven (knuden) og af kraftfeltet, men en slags ``gennemsnitsværdi'' over alle mulige kraftfelter giver en information, som kun afhænger af knuden, og som kan indkodes som et heltals-polynomium, i analogi med Gauss' lænketal. Heltalspolynomier kan ikke ændres kontinuerligt, lige så lidt som hele tal kan, og derfor bliver polynomiet uændret ved deformationer af kurven; det er en invariant.. Jones polynomiet fremkommer på denne måde.

Opdagelsen af sammenhængen mellem knudetori og partikel-fysik viste sig frugtbar for begge parter, hvad en uoverskuelig mængde af publikationer om begge emner inden for de sidste tyve år kan bevidne. For knudeteori betyder den en dybere forståelse af de formelle manipulationer, som f.eks. skein-relationerne ; omvendt viser knudeteoriens rent matematiske (formelle, kombinatoriske) betragtninger sig af betydning for forståelse af partikelfysik.

Hvor fintmærkende er Jones/HOMFLY?

Man kender endnu ikke en knude-invariant, der er fuldstændig: selv Jones/HOMFLY polynomiet, som er en af de kraftigste invarianter, er ikke fuldstændigt, d.v.s. man har faktisk fundet to knuder, der har samme HOMFLY polynomium, men som alligevel er kvalitativt forskellige. Hvordan beviser man, at to knuder er ens? Selve den fysiske omdannelse af den ene knude i den anden er et bevis. Man kan bevise, at en filtret snor kan løses op ved  at løse den op.

Hvordan ved man derimod, om to knuder er forskellige? Det kan man kun vise, ved at en eller anden  invariant afslører det. Det er ikke nok at manipulere med knuderne og konstatere, at det ikke rigtigt vil lykkes at få dem til at se ens ud.

Fra et logisk synspunkt er det at vise, at to knuder er ens, et eksistens -udsagn: ``der findes en deformation ..'', mens det at vise, at de er forskellige, er et universelt udsagn: ``alle  deformationer er dømt til at mislykkes'' - og mens man viser et eksistens-udsagn ved at ``lægge noget på bordet'', er selve indholdet i et universelt udsagn noget, der vedrører alle ting i verden, - allemulige deformationer. Det var f.eks. først i 1914, at Max Dehn kunne bevise, at de to kløverbladsknuder

Fig 14
faktisk er forskellige. De har forskelligt Jones polynomium, så Jones teorien kan også skelne dem, mens Conway teorien ikke kan, de har begge Conway poynomium 1+ z2 .

Et helt nyt og ret epokegørende resultat (2002) om hvor fintmærkende HOMFLY polynomiet er, skyldes en af medarbejderne ved Instituttet i Århus, Jørgen Ellegaard Andersen, (p.t. udlånt til det prestigefyldte Berkeley Universitet i USA). Det vedrører en let generalisation af dette polynomium til såkaldte "farvet HOMFLY polynomium":

Sætning(JEA) Hvis en knude har farvet HOMFLY polynomium 1, så kan den løses op.

Altså, selvom HOMFLY polynomiet ikke altid kan konstatere om to knuder er ens, så kan (det farvede) HOMFLY  i hvert fald konstatere det, hvis den ene af dem er en ``uknude''. --(Farvet) HOMFLY polynomium  =1 er ikke bare en nødvendig, men også en tilstrækkelig betingelse for at en given knude K kan løses (deformeres til u-knuden ).

``Det er et meget langt bevis som bruger mange forskellige tekniker der i blandt topologisk kvante felt teori. - Faktisk er resultatet et korrolar af en formodning af Witten, som jeg har bevist i en præcis formulering, jeg selv har udviklet.'', skriver Ellegaard i en e-mail (juni 2002) til Instituttet, hvor han giver os lov til at omtale resultatet, der endnu ikke er publiceret eller pre-publiceret. -- Han arbejder  i øjeblikket på at forbedre sætningen, på den måde at ordet "farvet" kan undværes: "HOMFLY polynomium 1 medfører at knuden kan løses"; men det er endnu ikke  på plads.

Det skal siges, at der med Ellegaards resultat ikke følger en opskrift på hvordan en knude med trivielt (farvet) HOMFLY polynomium kan løses op. Man har længe kendt algoritmer, der ``simplificerer knuder mest muligt'', og specielt vil denne algoritme løse enhver knude, der kan løses. Men  algoritmen  er ikke implementeret.


 

Litteratur


C.C. Adams, The knot book, Freeman and Co., 2001.


J  Baez og J.P. Munian, Gauge fields, knots, and gravity, World Scientific 1994. 
P.v.d. Griend, A history of topological knot theory, i Turner og v.d. Griend, History and science of Knots, World Scientific 1996. 
P. Freyd, D. Yetter, J. Hoste, W.B.R. Lickorish, K.C. Millet og A. Ocneanu, A new polynomial invariant for Knots and Links, Bull.Amer. Math. Soc.,12 (1985), 239-246. 
V. Jones, A Polynomial Invariant for Knots via von Neumann Algebras, Bull. A.M.S. 129 (1985),103-112. 
K.B. Marathe, A Chapter in Physical Mathematics: Theory of Knots in the Sciences, in Engquist and Schmid (eds.) Mathematics Unlimited -- 2001 and Beyond, Springer 2001. 
R. Scharein, The Knot Plot Site , http://www.cs.ubc.ca/nest/imager/contributions/scharein/KnotPlot.html 
E. Witten, Quantum field theory and the Jones polynomial, Comm. Math. Phys. 121 (1989), 351-399. 

 

Fodnoter:


Om Ørsted og Holten:


"En vandret del af denne tråd [strømførende ledning] bringes i vandret stilling over og parallelt med den på sædvanlig måde ophængte magnetnål [altså en kompasnål] .. så vil magnetnålen bevæge sig, og den vil afvige mod vest under den del af ledningen, som modtager elektriciteten fra det galvaniske apparats [batteriets] negative pol", skriver Ørsted i sin artikel (på latin) fra juli 1820, hvor han bekendtgør sin opdagelse. -- Beskrivelsen af, hvilken side kompasnålen vil slå ud til, er klart nok formuleret, men den formulering, der efterhånden blev den almindelige ("tommelfinger-reglen"), skyldes Ørsteds elev, og hans efterfølger som fysik-professor ved Københavns universitet, C. Holten: "Holder man en højre hånd i strømmens retning og vender håndens inderside mod magnetnålens nordpol, da vil denne slå ud til den side, som tommelfingeren viser." ( Tilbage til teksten)

Om faktoren 2/3 eller 4:


(på nær en faktor 2/3 pi ) Hvis man lader vol(dx, dx' ) betegne rumfanget "parallellepipedet udspændt af dx , dx' og en lange forbindelseslinie, får man et rumfang, der er seks gange så stort som tetraeder-rumfanget. Det var hvad Gauss gjorde, så Gauss' integral er seks gange så stort som det, vi har præsenteret, og adskiller sig fra et helt tal ved seks gange 2/3 pi , altså 4pi . (Tilbage til teksten)