Matematisk rodekasse

På denne side lægger jeg nok en masse som jeg finder eller har fundet nyttigt. Det være sig noter jeg selv har skrevet, ting jeg har fundet på nettet eller opskrifter på chokoladekager.

A progress report: Mapping Class Groups, Deformation Quantization, and the Formal Hitchin Connection

On June 8, 2007, I passed the qualifying exam for the part B of my PhD. As a part of this, I wrote a "progress report" which is supposed to contain the progress I've made so far. It's amazing that even though I feel the amount of progress has measure zero (even with respect to a discrete measure), the report takes up 65+ pages. I have prepared several versions of it: You may download one which is suitable for (two-sided aka duplex) print as a PostScript- or pdf-file, or one which is better suited for viewing online, also as PostScript- and pdf-files.

Now there is also an errata file available, also as PostScript- and pdf-files. In a not too distant future, when I have cleaned up the comments, I will also make the source code (LaTeX and metapost) available.

Talk on "Optimal Metrics on Compact 4-Manifolds"

From November 30 to December 2, 2006, some of the people associated to the CTQM went to the University of Aarhus conference center, the Sandbjerg Estate, in Southern Jutland. I was supposed to give a so-called short student presentation based on one of the talks I attended in Madrid a few months earlier. I chose the talk by Claude LeBrun on optimal metrics and curvature functionals in the 4-dimensional setting. If you wish you can download the slides from the presentation. I also made a handout version.

Punktmængdetopologi

Et topologisk rum er en rar ting. Der er ikke mange mængder som er værd at betragte hvis man ikke samtidig har en topologi på den. Der findes utrolig mange egenskaber som et topologisk rum kan have eller savne, og nogle af disse implicerer nogle af de andre. En aften fandt jeg dette skema som viser sammenhængene mellem de vigtigste egenskaber. For de præcise definitioner henvises til siden hvor det er hugget fra.

Marcel har skrevet et ganske udmærket sæt noter om metriske rum og punktmængdetopologi. Det finder du på hans hjemmeside.

Et bachelorprojekt

I efteråret 2004 afleverede jeg mit bachelorprojekt. Titlen endte med at blive "Frobenius' sætning og Lie-grupper", og hvis du vil vide hvad der gemmer sig herunder kan du hente projektet i PostScript- eller pdf-format.

Hvis du er interesseret i hvordan disse ps- og pdf-filer dog er blevet frembragt kan du hente kildekoden (med alle nødvendige filer): bachelor.zip. For at kompilere: Udpak, kør mpost -tex=latex bachelor.mp efterfulgt af to gange latex bachelor.tex for at kompilere (til en dvi-fil).

De reelle tal

Få matematikstuderende tænker i det daglige over hvorfor det giver mening at snakke om "de reelle tal". Det er givetvis også ganske sundt ikke at gå og overveje hele tiden, men jeg mener at man mindst en gang bør have set en rimelig grundig konstruktion. Derfor har jeg skrevet en note hvor jeg konstruerer de reelle tal ud fra de rationale tal, og før dette konstruerer jeg såmænd både de rationale, hele og naturlige tal ud fra nogle få af mængdelærens aksiomer.

• Seneste offentliggjorte version (af 11. februar 2006) i PostScript- eller pdf-format

Kategorier

Jeg er ved at skrive en kort note om kategoriteori. Eller det vil sige jeg troede den blev kort, men nu nærmer den sig 50 sider (hvilket er lige så meget som mit bachelorprojekt!), og der kommer mere til. Arbejdstitlen er "Kategorier for den stakkels studerende", hvilket er en plathed baseret på titlen på standardreferencen inden for kategoriteori, "Categories for the Working Mathematician" af Saunders Mac Lane. Jeg skriver stadig på noten, så det du kan finde her er en arbejdsversion (inklusiv mine kommentarer til mig selv), og læsning er derfor helt på eget ansvar. Kommentarer er selvsagt velkomne.

• Version 1.0β i PostScript- eller pdf-format.
• Seneste arbejdsversion i PostScript- eller pdf-format. Pdf-filen kan vise sig at være en anden (ældre) udgave end ps-filen, da jeg mens noten skrives kun opdaterer ps-filen automatisk.

Med tiden er det meningen at denne note eller en overbygning dertil også skal omfatte andet matematisk guf som man aldrig formelt får præsenteret nogen steder. Her tænkes i særdeleshed på tensorprodukt. Primært for at man ved hvad tensorproduktet af to vektorrum er, men det er naturligt at nævne at tensorproduktet giver mening i mere generelle kontekster (moduler og repræsentationer), og da jeg også har tænkt mig at kategorinoten med tiden skal indeholde et omfattende kapitel om abelske kategorier satser jeg på at jeg kan få det hele til at gå op i en højere enhed.

Hmm, jeg faldt over en besynderlig test på nettet: "Hvis du var en gul Springer-bog, hvilken ville du så være?". Mit resultat ses her:

If I were a Springer-Verlag Graduate Text in Mathematics, I would be Saunders Mac Lane's Categories for the Working Mathematician. I provide an array of general ideas useful in a wide variety of fields. Starting from foundations, I illuminate the concepts of category, functor, natural transformation, and duality. I then turn to adjoint functors, which provide a description of universal constructions, an analysis of the representation of functors by sets of morphisms, and a means of manipulating direct and inverse limits. Which Springer GTM would you be? The Springer GTM Test

Algebra 1

Der var engang for mange Herrens år siden, hvor en ung og uskyldig matematikstuderende havde meldt sig til eksamen i Algebra 1. Modig som han var, havde han valgt at tage imod tilbuddet om PC-eksamen, der på det tidspunkt kørte som forsøgsordning. Dette betød, at han kunne bytte skrivekrampe ud med musealbue, thi hans eksamensbesvarelse skulle nemlig udfærdiges på en PC.

For ikke at møde ganske uforberedt op til denne alternative eksaminationsform, besluttede den gæve unge matematikstuderende at lave en masse algebra på PC inden den store dag. Således foretoges indskrivning af en hoben tidligere Algebra 1-eksamensopgaver i løbet af juleferien, og Gud så, at det var godt. Det var der også en masse andre eksamensplagede studerende der gjorde, og således skete det i de dage, at der inden længe florerede i hobetal af kopier af disse forslag til eksamensbesvarelser.

Ak ja, det var tider. Imidlertid forsvandt besvarelserne snart fra denne hjemmeside, hvor de i en periode havde kunnet hentes; og herfor var mange gode grunde. Men nu, efter utallige opfordringer, lægges de igen frem til fri nedlastning og brug. Jeg gider ikke længere vedligeholde dem, så de fejl der er, er der. Afsnittet om gode råd er aldrig blevet færdigskrevet, så det må en anden gøre. Hvis jeg engang bliver instruktor i Algebra igen, kan det være jeg tager mig sammen til at rette op på disse ting, men det kan du jo ikke bruge til noget. Bemærk, at besvarelserne er lavet som en del af min eksamenslæsning (dengang jeg selv havde kurset), og ikke som hjælp til dem jeg underviste (dengang jeg var instruktor i kurset). Kald dette en disclaimer, advarsel eller hvad du lyster; min pointe er at jeg ikke gider høre noget brok over kvaliteten.

Nuvel, du var sikkert kun kommet for at finde dette link (ps-format) og/eller dette link (pdf-format).